Relaciones y Funciones.
Producto Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano AXB es el conjunto de todos los pares
ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto A y cuya segunda componente pertenece al segundo conjunto
B. En símbolos tenemos que:
AXB = 
( x,y ) / x 
A 
x B 
El producto cartesiano también recibe el nombre de Conjunto
Producto. Es igual
al conjunto vacío cuando por lo menos uno de los conjuntos es igual al conjunto vacío.
Ejemplos: Dados los conjuntos A = 1,2,3 y B
= a,
b }, determine: a) AXB , b) BXA , c) BXB .
Solución:
a) A X B
= {
(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }
b) B X A =
{ (a,1) , (a,2) , (a,3) ,
(b,1), (b,2), (b,3) }
c) BXB = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b) } .
El producto cartesiano no es conmutativo, es decir, A X B ≠ B X A .
Relación
Binaria.- Una relación de A en
B, denotada R : A → B, es cualquier subconjunto R del
producto cartesiano AXB . En una relación se distinguen : un primer
conjunto A, llamado conjunto
de partida, un segundo conjunto B, llamado conjunto de llegada, y un conjunto de pares ordenados R 
AXB , llamado
conjunto solución. Una relación se puede especificar de las siguientes formas:
a)
R=
(A,B,R ), la cual es la definición dada.
b) R =( A, B,
p (x,y) ), donde p(x,y) representa un enunciado formal o ley de correspondencia que
deben cumplir los pares
ordenados (x, y) R.
c) Un diagrama de Venn-Euler, en el cual los conjuntos se representan mediante óvalo dentro de los cuales se colocan los elementos de los conjuntos dados y se trazan
flechas enlazando los elementos de
cada par ordenado de R .
d) Un diagrama de coordenadas que es
semejante a un sistema de coordenadas rectangulares, con la diferencia de que solamente se
representan los elementos de los conjuntos dados separados a distancias
iguales en un primer cuadrante. Los elementos
del conjunto de
partida se ubican
en el eje
horizontal y los elementos del conjunto de llegada
se ubican en el eje
vertical. Se trazan
perpendiculares a los ejes correspondientes
a cada elemento y se marcan las intersecciones
que corresponden a los pares ordenados de R.
Debemos aclarar que la variable X representa a cada elemento del conjunto de partida y la variable y representa
a cada elemento del conjunto
de llegada.
Imagen. Se dice que el segundo elemento de cada par ordenado de R es imagen del primero.
Por ejemplo, si (2,5) e R , entonces 5 es imagen de 2.
Dominio de definición o dominio es el conjunto de los elementos del conjunto de partida que están
relacionados con algún elemento del conjunto de llegada. El dominio, que se denota D, es igual al
conjunto de los primeros elementos de los pares
ordenados de R
Dominio de imágenes o rango es el conjunto de los elementos del conjunto de llegada que están
relacionados con algún
elemento del conjunto de partida. El
rango, que se denota Di , es igual al conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de R.
Ejemplos:
1) Dados A = {2,3,4,5} y
B = {4,6,9}, siendo , R : A —> B la relación tal que "x + y 
8” , determine: a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango, d)
Diagrama de Venn-Euler y e) Diagrama de coordenadas.
Solución:
a) El conjunto solución es
R = { ( x , y) A X B / x + y 8 } =
{ ( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), (
4, 4 ) } .
b) El dominio es D = { 2, 3, 4 } ; c)
El rango es D1 = { 4, 6
}
d) El diagrama de Venn – Euler es:
A 
B
Función es toda relación en la cual todo elemento del conjunto de partida tiene a lo más una
imagen.La frase ''a lo más"
significa que un elemento del conjunto de partida puede tener o no tener imagen, pero si la
tiene esta es única, por lo
tanto, en una función el dominio no es necesariamente igual al conjunto de partida. Dos pares ordenados distintos de una función no
tienen iguales las primeras
componentes.
Ejemplos: Dados los siguientes diagramas, escribir el conjunto solución de cada relación y
decir si es función o no. Explique
en cada caso.
F : A B H
: C D G : E
L
Solución: F : { (
1,5) , ( 3,2) } es función porque cada elemento del dominio
tiene imagen
única.
H : : { ( 1,2 ) , ( 2,7) , (
3,7) } es función porque cada elemento
del dominio tiene
imagen única.
G : { ( 1,2) , (1,7), ( 2,7) , ( 3,5) } no es función porque hay un elemento
del dominio
que
tiene mas de una imagen.
Función inyectiva es toda función en la cual cada elemento del rango es imagen de un único elemento del
dominio.
|
A
|
Función sobreyectiva es
toda función en la cual el rango es igual al conjunto de llegada, es decir, todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes.
La F :
{ (1,7) , (2,2) , (3,5) } es inyectiva porque
dos pares distintos tienen primeros elementos distintos y segundos elementos
distintos.
La F:
{ (1,5),
(2,7), (3,7) } no es inyectiva
porque dos pares distintos tienen segundos elementos iguales, o lo que es lo
mismo un elemento del rango es imagen de màs de un
elemento.
F: A
B H : C D
La F:
{ ( 1,2 ) , ( 3,7)} no es sobreyectiva
porque el rango no es igual al conjunto de llegada.
La H :
( 1,7) , ( 2,2) , (3,5) es sobreyectiva porque el rango es igual al conjunto de
llegada.
Funciòn Biyectiva
es toda funciòn que es inyectiva
y sobreyectiva a la vez.
|
G: A
|
F :
A B
La F : { (1,7) , (2,2) ,
(3,5) } es biyectiva.
La
G :
{ ( 1,5) , (2,7) , ( 3,7)} no es biyectiva 
Función idéntica es toda función F: A —> A en la cual cada elemento del dominio es igual a su
imagen.
B
Función
algebraica es toda función F : R R tal
que f{x) es una expresión algebraica.
Gráfica de una función es el conjunto de todos los
puntos del plano coordenado
cuyas coordenadas son los pares ordenados de la función.
La
gráfica de una función F : R
R recibe
el nombre de
curva y está formada por un número infinito de
puntos del plano.
Determinar esta infinidad de puntos es imposible,
por lo cual, para
construir la gráfica de una función se determina un número suficiente de puntos que nos den una idea de
la forma de la curva. Otro hecho que se toma en cuenta para
construir la gráfica de una
función es que las características principales de una curva están casi siempre cercanas al origen de
coordenadas. Por tal razón,
los valores que se usan son números de un intervalo que incluye al cero. Tomando en cuenta lo anterior, el método básico para
construir la gráfica de una
función consiste en:
1)
Se construye una tabla de
valores que contiene los valores asignados a x y sus
correspondientes f(x), de acuerdo a la ley
que define la función. Cada par de valores [ a, f(a) ] corresponde a un
punto del plano coordenado.
2) Se representan en un sistema de
coordenadas los puntos correspondientes
a dichos pares ordenados.
3) Se traza una línea suave enlazando dichos
puntos, la cual es la
gráfica de la función.
Ejemplo: Construir la
grafica de la función dada.
1) F :
R R , tal que F (x) = 2x + 1 La función representada es
de primer grado o lineal y
su gráfica es una linea recta.
|
X
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
|
F(x)
|
-3
|
-1
|
1
|
3
|
5
|
2) G : R R , tal que G
(x) =
x2+ 2x -1
|
x
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
|
G(x)
|
7
|
2
|
-1
|
-2
|
-1
|
2
|
7
|
La función representada es de segundo grado y su
curva recibe el nombre de parabola.
Esta curva abre hacia arriba 
cuando el término
cuadrático es positivo y hacia abajo 
cuando el término
cuadrático sea negativo.
